让我从概率论的角度谈谈Borel集的意义。 首先,回忆一下概率空的定义。概率空是三重的,样本空,事件集和概率。 我们的概率函数定义在事件上,而不是样本之间空。 概率的定义必

Borel 集的作用意义它为什么重要

让我从概率论的角度谈谈Borel集的意义。

首先,回忆一下概率空的定义。概率空是三重的,样本空,事件集和概率。

我们的概率函数定义在事件上,而不是样本之间空。

概率的定义必须满足几个性质,即Kolmogorov公理:

当样本空离散时,概率非常容易定义,只要给每个结果赋一个概率值,且其和等于1即可。此时我们能定义概率的所有事件的集合都是样本空之间的所有子集,没有错。

但是当样本空不是离散的,比如实轴r,那么概率的定义就麻烦了。我们发现,并不是R上的所有子集(事件)都可以用概率来定义,例如:

看,我们发现,如果严格按照概率函数的定义,并不是R上的所有子集(事件)都能被定义概率的。那么我们能不能把那些能定义概率的集合(事件)挑出来只对他们进行研究呢?看,我们发现如果用概率函数严格定义,并不是R上的所有子集(事件)都可以用概率来定义。那么,我们能不能挑出那些能定义概率的集合(事件),只研究它们呢?

当然可以。但是,这些事件的选定集合必须有一些要求,例如:

空集必须在这个事件的集合里面如果我们关心某个事件A,那么「事件A不发生」,也就是A的补集也必须在这个事件的集合里面如果我们关心一系列事件,那么这些事件同时发生、至少有一个发生的概率也必须能被研究。

这就产生了所谓σ代数的概念。

那么我们如何定义r上的概率呢?这时,我们需要引入分布函数:

利用分布函数,我们可以首先定义区间上的概率:

然后用所谓的内测度和外测度来定义某些集合的概率函数。r上所有区间生成的最小σ-代数是Borel σ-代数,Borel σ-代数的元素称为Borel集。我们发现恰好所有的Borel集都可以定义为概率集,而且它们最符合我们的直觉(除非特别构造,否则遇到的大部分集都是Borel集),所以我们简单研究一下Borel集的概率。

那么为什么重要呢?正因为如此,我们排除了那些不好的集合,限制了我们讨论的范围,简化了我们的问题。

如果你不能理解上面的任何东西,你可以在这里阅读:http://sijichun.pro/attachment/171801math.stats/lec1 _ probability.pdf。

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